Cinematica della trave soggetta a carico d’incendio

di Andrea Quarta

Per determinare i principali fenomeni che avvengono in caso di incendio, si devono fissare alcuni principi fondamentali, utili per analizzare ed interpretare i risultati che si possono ottenere per mezzo dei metodi di analisi più sofisticati.

La principale relazione, che determina il comportamento delle strutture che subiscono effetti termici, è:

La deformata strutturale (), è influenzata dalle deformazioni di tutti gli elmenti strutturali, anche non soggetti direttamente al carico d’incendio. Al contrario, lo stato tensionale nella struttura () sia esso plastico o elastico, è governato dalle deformazioni meccaniche. Nel momento in cui non vi è l’applicazione di carichi esterni e non vi è la presenza di vincoli capaci di limitare le deformazioni termiche, allora si verifica un annullamento delle deformazioni meccaniche (), dunque:

Nel momento in cui, invece, i vincoli presenti non permettono alle deformazioni termiche uno sviluppo in mancanza di carichi esterni, le deformazioni totali sono pari a zero (), perciò:

In aggiunta al decadimento termico di cui sono vittima i materiali, un altro fattore estremamente importante, determinante per la reale risposta di una struttura durante l’incendio, è il modo con cui la struttura fa fronte alle deformazioni termiche, conseguenti all’aumento delle temperature all’interno dei suoi elementi. Quando la struttura non possiede vincoli d’estremità per opporsi alle deformazioni di tipo termico, la risposta sarà fissata dagli spostamenti, in alternativa si avranno dei rilevanti stati tensionali. Considerando una trave esposta ad un incendio dal basso, ad esempio, essa aumenta la propria temperatura, presentando un dato gradiente sulla sezione retta, il quale può approssimarsi per semplicità attraverso una legge lineare e dividersi in una distribuzione costante delle temperature sulla totalità della sezione e in una distribuzione di tipo bi-triangolare. La prima crea nell’elemento strutturale, considerato di materiale omogeneo, in mancanza di vincoli alla traslazione, delle dilatazioni termiche di tipo uniforme, senza che si effettui alcuna modifica dello stato delle sollecitazioni, il cui collasso è dato dal decadimento termo-meccanico dei materiali.

Per quanto riguarda i vincoli traslazionali, essi portano all’insorgere di alcune deformazioni meccaniche uguali ed opposte rispetto a quelle termiche: si creano degli importanti stati tensionali di compressione. La parte lineare, appartenente al diagramma della temperatura, crea una serie di curvature termiche nell’elemento e, dunque, un’inflessione, la quale, dinanzi a dei vincoli alla traslazione orizzontale e nel caso di rilevanti spostamenti, inducono ad un probabile “effetto catena”, provocando uno stato tensionale di trazione. Se vi sono dei vincoli alla rotazione, le curvature termiche portano a dei momenti flettenti negativi all’interno dell’elemento.

Le risposte strutturali dipendono dallo schema statico e sono inerenti all’eventualità di presentare diversi scenari d’incendio che possono avvenire in una struttura. Un incendio del tipo “fast-burning”, capace di raggiungere velocemente il flash over e di registrare le alte temperature per poi esaurirsi, comporta elevati gradienti termici (calcestruzzo a temperature relativamente basse ed acciaio molto caldo) e dei bassi valori medi delle temperature. Un incendio lento, invece, registra solo delle temperature abbastanza modeste, ma continua nella sua combustione per un lungo lasso di tempo: in tal modo potrebbero verificarsi degli alti valori medi della temperatura e gradienti termici abbastanza bassi.

Quando una struttura reale subisce un incendio, allora vi è una combinazione di deformazioni meccaniche, causate sia dalle dilatazioni termiche non permesse, sia dai carichi che sono stati applicati. L’insieme di questi fattori comporta il superamento dei limiti di snervamento dei materiali, causando delle plasticizzazioni molto estese. La deformata della struttura, invece, è legata solo alle deformazioni nel loro complesso, che possono considerarsi piccole se presente un adeguato livello di vincolo, ma sono in grado di creare grandi deflessioni, aventi un’inferiore domanda di deformazioni plastiche, in presenza di deformazioni plastiche estese o di uno basso livello di vincolo. Tali deduzioni evidenziano come la risposta strutturale sia complessa durante l’incendio e come non sia sempre esaminabile con le classiche metodologie di calcolo “a freddo”.

I concetti sopra riportati saranno approfonditi per una maggiore precisione e chiarezza, tenendo conto delle configurazioni strutturali semplici ed applicando delle espressioni analitiche per gli eventi di grande riguardo.

1. Dilatazione termica in elementi isostatici

L’aumento delle temperature comporta una dilatazione termica dei materiali strutturali εT e, dunque, dei medesimi elementi. Questi due fattori possono ricavarsi con:

Se viene applicato un aumento uniforme della temperatura ΔT ad una trave che risulta solo appoggiata e senza dei vincoli assiali, si otterrà una dilatazione della trave uguale a:

Dal momento che la deformazione totale εt equivale alla deformazione termica e che le deformazioni di tipo meccanico sono uguali a zero, non è sviluppato alcun tipo di stato tensionale.

Dilatazione assiale

 

2. Dilatazione termica in presenza di vincoli rigidi alla traslazione

Ora si prenda in considera una trave vincolata in maniera rigida alla traslazione e che subisce un aumento uniforme delle temperature ΔT.

Sforzo normale di compressione

Nel caso in esame la trave non può ovviamente allungarsi, dunque si avrà una deformazione totale εT pari a zero, evidenziando una mancanza di spostamenti. Si sviluppa, comunque, una reazione di vincolo P, che origina sulla trave una deformazione uguale e contraria alla deformazione di tipo termico, dunque di compressione, come evidenziato da:

E’ presente, quindi, un regime uniforme di tensioni di tipo assiale all’interno della trave, pari a:

Presumendo un aumento indefinito della temperatura, è possibile che si verifichino due risposte strutturali conseguentemente alla snellezza della trave:

  • Con una trave abbastanza tozza, la tensione superficiale eguaglia la tensione di snervamento del materiale e, se il materiale presenta un legame costitutivo tensione deformazione del tipo elasto-plastico, la trave snerva senza altri aumenti della tensione, ma sarà capace di immagazzinare maggiori incrementi delle deformazioni plastiche. L’aumento della temperatura che porta allo snervamento ΔT* si definisce come segue, una volta che si è posto 

In cui:

– E indica il modulo di elasticità appartenente al materiale;

– fy si riferisce alla tensione di snervamento del materiale;

– α è il coefficiente di dilatazione termica.

  • Una trave snella, d’altro canto, diventa subito instabile ancor prima del raggiungimento della tensione di snervamento. Il carico critico di Eulero per una colonna o una tre è pari a:

Eguagliando l’espressione della reazione vincolare si ha:

La quale porta ad un valore critico dell’aumento della temperatura, in relazione all’instabilità, equivalente a:

Dove:

– l lunghezza libera d’inflessione, che dipende dalle condizioni di vincolo;

– λ è il rapporto di snellezza;

– ρ raggio di inerzia.

Se si dovesse verificare un continuo aumento della temperatura, la reazione vincolare nel suo complesso rimarrà costante, se si considera un materiale elastico senza alcun tipo di decadimento termico, invece, le deformazioni termiche indurranno un incremento dell’inflessione della trave δ.

Freccia

I due eventi sopra descritti rappresentano le principali tipologie di risposta delle travi soggette alla dilatazione termica e vincolate assialmente. Ognuna delle due può avere luogo in base alla snellezza della trave o alla combinazione fra instabilità e snervamento.

 

3. Deformazione per variazione termica lineare (Thermal bowing)

L’effetto catenaria è del secondo ordine ed è delineato dalle grandi curvature, basate su dilatazioni termiche non uniformi all’interno delle sezioni trasversali.

Se la membratura risultasse libera di muoversi, essa sarebbe portata ad incurvarsi, avvicinando le estremità nel momento in cui vi fosse lo sviluppo di grandi curvature. Considerando una trave con vincoli d’estremità elastici, i quali rendono rigida la trave rispetto ai movimenti di rotazione dei punti d’appoggio e a quelli assiali, la distribuzione trasversale della temperatura è da considerarsi suddivisa nelle sue varie componenti, lineare, costante ed antisimmetrica.

A causa di tale modifica termica del tipo antisimmetrico, la trave si comporta seguendo una curva deformata, la quale avvicina gli appoggi della trave stessa. Prendendo in considerazione la curvatura conseguente alla temperatura χ , si evidenziano queste relazioni:

Considerando che la deformata della linea dell’asse possa essere delineata per mezzo di una funzione sin(x), si ottengono i presenti spostamenti:

Qualora si considerasse il vincolo alla rotazione all’estremità della trave, il momento improduttivo della deformazione termica lineare, del tipo antisimmetrico in relazione alla base, è pari a:

Mentre la curvatura propria della trave:

Per valutare la freccia che consegue l’apparente deformazione assiale e la curvatura, si può realizzare con l’applicazione delle formule linearizzate:

Le membrature, se si trovassero in una condizione di vincolo non sufficiente, potrebbero perdere gli appoggi.

4. Deformazione per variazione termica costante (Thermal expansion)

La deformazione, causata da una variazione dal punto di vista termico, può arrecare un serio pericolo nel caso di travi vincolate all’estremità in direzione assiale, poiché comporta un’instabilità da parte della stessa trave. La verifica è molto semplice e può essere realizzata con un’equazione di congruenza degli spostamenti assiali della trave. Oltre ai vincoli, si può tener conto della conseguente diminuzione da parte della variazione termica lineare.

Considerato il valore della temperatura media uguale a , si ottiene:

L’allungamento si definisce, invece, come:

Lo sforzo assiale creato dall’impossibilità di allungamento è in grado, dopo aver registrato un’idonea temperatura, di portare allo svergolamento della trave. Livellando il valore dello sforzo assiale in funzione della temperatura con quello causato dall’instabilità Euleriana della trave, si avrà:

E’ giusto ricordare che il valore della snellezza nell’eventualità di un incendio non è equivalente a quella ordinaria, poiché le condizioni di vincolo degli elementi strutturali possono subire variazioni a causa di azioni localizzate.

Mediante la risoluzione per mezzo dell’ignota temperatura critica, si avrà:

Nel momento in cui la temperatura aumenta e oltrepassa la soglia critica, la trave inizia ad entrare in una configurazione variata, assumendo una freccia trasversale che diminuisce lo sforzo assiale fin sotto il valore di carico critico. Nel caso in cui si dovesse osservare che l’allungamento, solitamente equivalente a quello complessivo a cui è sottratto quello alla mancata stabilità, non possa venire accumulato dalla trave, allora diviene una freccia trasversale, proprio come delineato dalle formule e dalle loro semplificazioni.

Si può evidenziare, inoltre, che la variazione termica del tipo lineare sulla sezione risulta favorevole alla stabilità, poiché, dopo l’incurvamento, si crea un accorciamento apparente dell’asse della trave. Nelle seguenti figure, estrapolate da Usmani et Al., 2001, si evidenzia l’aumento della temperatura critica, causato dal gradiente, e l’aumento di freccia conseguentemente alla variazione della temperatura per ciò che concerne una trave presa come campione.

 

5. ANALISI FEM CON RISCALDAMENTO NON UNIFORME

Generalmente, la trave subisce un riscaldamento non uniforme: ciò è dato dalla presenza di elementi di solaio che sono contigui rispetto la flangia superiore propria della trave, la quale, conseguentemente al calore trasmesso a quest’ultimi, subisce un aumento delle temperature minore rispetto alla flangia inferiore e comporta l’origine di gradienti termici nella sezione, i quali creano tensioni di coazione.

Oltretutto, occorre che si considerino eventuali vincoli di estremità della trave, i quali sono in grado di far fronte all’espansione termica dell’acciaio, come per la colonna di un edificio a più piani con una struttura intelaiata e pareti rigide. Lo sforzo assiale, causato dall’impossibilità di sviluppare una deformazione, è capace di portare velocemente la trave oltre il carico critico di compressione, con formazione di una deformata post-critica.

Si discutono i fenomeni statici e dinamici appena trattati con metodo FEM, tramite l’ausilio del software di calcolo SAFIR.

Percorso di progettazione

6. Bowing effect e catenaria

Si considera una delle colonne del modello di studio, in particolare una delle travi HEB 200.

Sulla trave verrà applicato il carico gravitazionale, nonché il carico uniformemente distribuito secondo il sistema di riferimento globale.

Ponendosi in 2d Beam, si considera una condizione di vincolo agli estremi della trave, discretizzata in 20 elementi beam di incastro-carrello.

Schema statico

Note le Boundary Condition sul piano YZ, si applica la curva termica di riscaldamento superficiale dell’elemento (derivata da analisi termica transiente applicando la curva ISO834).

Curva di riscaldamento

Inoltre si creano anche le diverse Table relative a:

  • Calore specifico;
  • Dilatazione termica;
  • Conducibilità termica;
  • Coefficiente kE;
  • Coefficiente ky;
  • Sforzo-deformazione.

 

Le seguenti Table saranno applicate di volta in volta nell’avanzare dell’analisi. Si partirà da un’analisi lineare quasi statica, per poi arrivare a considerare tutte le fonti di non linearità geometrica e meccanica in un’analisi non lineare quasi statica.

Table impostate sul modello

Si utilizza acciaio tipo S275.

Curva sforzo deformazione per S275

Prima di poter svolgere l’analisi non lineare, si esegue un’analisi termica, con ipotesi di riscaldamento non uniforme tra intradosso ed estradosso, in modo da avere come input i valori di temperatura raggiunti negli elementi Beam nei diversi istanti di tempo, i quali influenzano le diverse proprietà meccaniche.

Per eseguire l’analisi termica transiente non lineare, in prima battuta, si assegnano le diverse caratteristiche termiche all’elemento.

Si procede con l’analisi termica per un periodo pari a 3600s.

Ottenuto il file di output dall’analisi termica si procede con le analisi meccaniche non lineari.

7. Analisi con non linearità geometriche e meccaniche

Si studia lo spostamento del nodo in mezzeria n°2 rispetto al nodo all’appoggio n°3.

ANALISI TERMICA TRANSIENTE
Tempo [s] Deformata

60

1800

 

3600

ANALISI MECCANICA NON LINEARE
Tempo [s] Deformata
60
300
420
540
703

Freccia mezzeria

Si nota che la trave al tempo t=1s è soggetta ai soli carichi gravitazionali, distribuiti uniformemente. Solo successivamente influisce l’effetto termico, che comporta un’espansione della trave con spostamento verso destra del carello pari a δ1000= -0.823 m.

Inoltre, si nota una diminuzione della freccia che passa da w1-500 = 0.028m a w1000 =1.84 m.

Considerando il collasso convenzionale per superamento della deformazione limite pari a L/30=0.2825m, il collasso avviene a 11 min. Tale arco di tempo è tipico delle strutture in acciaio non protette e soggette a carichi termici, derivanti dalla curva standard ISO834.

I risultati, evidenziano l’importanza di introdurre le non linearità all’interno del nostro modello.

Se ne deduce che per alcune particolari geometrie e condizioni al contorno, la non introduzione delle non linearità potrebbe portare a considerare la struttura come resistente per un periodo di tempo sufficiente ad esplicare le funzioni per il quale è stata progettata, quando in realtà ciò non è verificato tenendo conto anche delle non linearità.

Esaminando l’andamento della deformata, si ricade nel caso in cui avviene il bowing effect.

La trave, dopo una prima espansione libera verso l’esterno, tende ad accorciarsi a causa della perdita di resistenza, causata da un aumento della temperatura, capace di provocare un decadimento del modulo di Young e del limite di snervamento.

BIBLIOGRAFIA

“Article for only educational purposes with the non-linear SAFIR software developed at the University of Liege [1-2].”

[1] Franssen, J.M. (2005), “SAFIR: a thermostructural program for modeling structures under fire”,

Journal of Engineering, 143-158.

[2] Franssen, J.M., Gernay, T. (2017), “Modeling structures in fire with SAFIR®: Theoretical

background and ability “, Journal of Structural Fire Engineering, 8 (3).

[3] Quarta Andrea (2017), tesi di laurea in Ingegneria Civile “ Verifica al fuoco di edificio industriale con struttura in acciaio”. [Laurea magistrale], Università di Bologna.